Cálculo con infinitesimales

Presentación
Prólogo
Introducción

Capítulo 1
Origen, destierro y renacimiento de los infinitesimales

¿Qué es el cálculo?
Cálculo e infinitud
Los orígenes
Las controversias
El cálculo Leibniziano
Un nuevo método
Todo se reduce a un juego
La regla del producto
El esplendor y la gloria
Inconsistencias del cálculo con infinitesimales
El obispo Berkeley contraataca
Una etapa de vanas justificaciones
Expulsión de los infinitesimales
La época del «Rigor»
Continuidad y límite
La recta real
Crisis de los fundamentos
Reminiscencias infinitistas
El análisis no estándar
Se recupera la honra
Tendencias del cálculo infinitesimal

Capítulo 2
El sistema numérico hiperreal

Otros números distintos de los reales ordinarios
Infinitos e infinitesimales
Tres tipos de cantidades
El átomo de un real
El orden de magnitud
El núcleo de un infinitesimal
La propiedad Arquimediana
El número E
Sucesiones con subíndices hiperenteros
Recubrimiento infinitesimal de un intervalo
Construcción del campo de los hiperreales
Medidas aditivas y ultrafiltros

Capítulo 3
Los elementos del cálculo

La variable
La diferencial
La variable independiente
La variable continua
Las variables, cómo se usan
Algebra de variables
Algebra diferencial
La variación
Diferencial de la variable inversa
Identificación de variables
La función
Definición de función
La dependencia lineal
Función continua
Diferencial de una función
Funciones sobre el dominio continuo
La función exponencial
La función seno
La derivada
Regla de la cadena
Derivada de la función inversa
Continuidad de la función derivable
Derivada de la función exponencial
Derivada de funciones trigonométricas
Derivadas de orden superior
La integral
La integral, cómo se usa
La integral es un promedio
Integral de la función constante
Integral de la función lineal
Integral de la función cuadrática
Integral de una función discontinua
Teorema fundamental del cálculo
Integración por partes
La fórmula de Abel
La integral impropia

Capítulo 4
Aplicaciones del cálculo con infinitesimales

La delta de Dirac como función
La formulación inicial de Dirac
La teoría de distribuciones de Schwartz
Un punto de enlace: las funciones generalizadas
Heurística en física e ingeniería
Una propuesta de construcción
La función delta de Dirac
Derivada de la delta de Dirac
Derivadas de orden superior
Derivada del escalón unitario
Integral de la delta de Dirac
Las derivadas como se usan
Integral de convolución
Solución de una ecuación diferencial
El fenómeno de no unicidad
Un nuevo modelo de ecuación diferencial
Solución de una ecuación de recurrencia
La convolución y su tránsito al continuo
Convolución de funciones causales
La convolución periódica
Convolución de funciones de duración finita
La convolución discreta
Tránsito del discreto al continuo

Capítulo 5
Fourier, a la manera tradicional

Entidades de la teoría
Diversas aplicaciones
Notación funcional
La serie de Fourier SF
La transformada de Fourier TF
La transformada discreta de Fourier
Relaciones de ortogonalidad
Linealidad y translación
Modulación y convolución
Funciones especiales
La fórmula de Parseval
Cuestión crucial

Capítulo 6
Doloroso tránsito hacia la transformada

De la serie a la transformada
Peligroso malabarismo
La heurística, en bancarrota
Necesidad de un nuevo modelo

Capítulo 7
El dominio de la señal

El dominio discreto temporal
El dominio discreto frecuencial
El modelo tiempo-frecuencia
Dominio de alta resolución
El continuo temporal
El continuo frecuencial
Conversiones del dominio

Capítulo 8
Componentes armónicas y espectrales

Funciones sobre el dominio discreto
Pares transformados
Gráfica de funciones discretas
Periodicidad discreta
La exponencial compleja periódica
Incremento en el número de ciclos
Periodicidad de la frecuencia
Relación entre el dominio discreto y periodicidad
Componentes armónicas y espectrales
Espectro de la componente armónica

Capítulo 9
La transformada discreta de Fourier

El principio de superposición
La transformada discreta de Fourier
Ortogonalidad de las componentes armónicas
Unicidad de la construcción
Conservación de la energía

Capítulo 10
Serie y transformada

Entidades dramáticamente distintas
La heurística en la ingeniería
El modelo de cálculo
Conversión de la exponencial compleja
La transformada discreta se convierte en serie de Fourier
La serie de Fourier se convierte en transformada de Fourier
Del discreto al continuo
Ortogonalidad en el dominio continuo
Transformada de la delta de Dirac

Capítulo 11
La onda cuadrada y su tránsito al continuo

La onda cuadrada periódica discreta
Conversión en onda periódica continua
Conversión en onda cuadrada no periódica

Capítulo 12
La transformada discreta de Laplace

La transformada de Laplace
La transformada discreta de Fourier
La transformada discreta de Laplace
La versión discreta del continuo
Tránsito del discreto al continuo
Desarrollo en serie de Laplace

Capítulo 13
Muestreo y recuperación de señales

El enunciado de Shannon
La paradoja del ancho de banda
Demostración del teorema del muestreo
Verdadero impacto en la comunicación
Muestreo en el dominio discreto
Funciones muestreadas y periodicidad
Doble relación entre periodicidad y muestreo
El teorema del muestreo discreto
Origen discreto de la versión continua

Capítulo 14
El principio de incertidumbre

Revisión de los conceptos de duración finita y banda limitada
Concentración y dispersión de la información
La incertidumbre en mecánica cuántica
Incertidumbre en dominios discretos

Capítulo 15
Estudio de la voz humana

La voz humana en el salón de clase
Digitalización de la voz
La señal de voz representada en números
Una oración convertida en 23316 enteros
Gráfica de la voz
Después de la imagen, el sonido
Reproducción de listas de datos
La raíz cuadrada de «Hola»
Partículas “elementales” del fonema
El espectro de frecuencias
Segmentos estacionarios de la señal
Espectro de frecuencia de un fonema /O/
El eco
Produciendo ecos en el computador
En el fondo de la palabra, el Cepstrum
Análisis cepstral de un fonema

Apéndices I y II

Bibliografía